在面积为1 的三角形PMN中,tanPMN=0.5,tanMNP=-2,建立适当坐标系,求以MN为焦点且过P的双曲线

题目

在面积为1 的三角形PMN中,tanPMN=0.5,tanMNP=-2,建立适当坐标系,求以MN为焦点且过P的双曲线

答案

如图,以MN所在直线为x轴,MN中点O为原点建立直角坐标系. 设MN=2c 在△PMN中,已知：tanM=1/2,tanN=-2.所以： sinM=1/√5,cosM=2/√5 sinN=2/√5,cosN=-1/√5 因为在三角形中,P+M+N=180°,所以：sinP=sin(M+N) =sinMcosN+cosMsinN=(1/√5)*(-1/√5)+(2/√5)*(2/√5) =3/5 而在三角形中,根据正弦定理有：MN/sinP=PM/sinN=PN/sinM 所以：2c/(3/5)=PM/(2/√5)=PN/(1/√5) 则：PM=(4√5c)/3,PN=(2√5c)/3 而,PM+PN=2a ===> (4√5c)/3+(2√5c)/3=2a ===> a=√5c 又,a^=b^+c^ 所以,b=2c 已知△PMN的面积为1,所以根据正弦定理得到： S△PMN=(1/2)PM*PN*sinP=1 ===> (1/2)*(4√5c/3)*(2√5c/3)*(3/5)=1 ===> 4c^/3=1 ===> c=√3/2 所以,a=√15/2,b=√3 那么,椭圆方程为：x^/(√15/2)^+y^/(√3)^=1 化简得到：4x^+5y^=15