过锐角三角形ABC的垂心H,作PH⊥平面ABC,且使∠APB=90°,求证：△BPC和△APC都是直角三角形

题目

过锐角三角形ABC的垂心H,作PH⊥平面ABC,且使∠APB=90°,求证：△BPC和△APC都是直角三角形

答案

连接A H 并延长交BC于D
连接P D
∵ HD⊥BC
PH⊥BC
∴ PD⊥BC
∵ HD⊥BC
H是AD上一点
∴ AD⊥BC
∵ PD⊥BC
AD⊥BC
∴ AP⊥BC
∵∠APB=90°
∴ AP⊥BP
∵ AP⊥BC
AP⊥BP
∴AP⊥面BPC
∴AP⊥CP
∴△APC是直角三角形
同理△BPC是直角三角形