如图,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=BCCD;②S△ABC+S△CDE≥S△ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论
题目
如图,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=
答案
∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,
∴AB=BC,CD=DE,
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°,
∴∠ACE=90°;
∵△ABC∽△CDE
∴
=
=
①∴tan∠AEC=
,
∴tan∠AEC=
;故本选项正确;
②∵S
△ABC=
a
2,S
△CDE=
b
2,S
梯形ABDE=
(a+b)
2,
∴S
△ACE=S
梯形ABDE-S
△ABC-S
△CDE=ab,
S
△ABC+S
△CDE=
(a
2+b
2)≥ab(a=b时取等号),
∴S
△ABC+S
△CDE≥S
△ACE;故本选项正确;
④过点M作MN垂直于BD,垂足为N.
∵点M是AE的中点,
则MN为梯形中位线,
∴N为中点,
∴△BMD为等腰三角形,
∴BM=DM;故本选项正确;
③又MN=
(AB+ED)=
(BC+CD),
∴∠BMD=90°,
即BM⊥DM;故本选项正确.
故选D.
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