1道数列问题(快!今天解决)

题目

1道数列问题(快!今天解决)
已知数列{an}的各项均为正数,且满足a2=5,a(n+1)=(an)^2-2n*an+2
推测并证明an的通项公式.
我推测的通项公式:an=2n+1
怎么证明?
第2项是5 a(n+1):第n+1项
(an)^2:第n项平方
2n*an:2n乘以第n项
最后+2

答案

用数学归纳法证明
n=1时,an=2+1=3,成立 (1)
假设变量取n时,公式成立
a(n+1)=an^2-2n*an+2=(2n+1)^2-2n*(2n+1)+2=2n+3
那么当变量取n+1时,有
a(n+2)=(2n+3)^2-2(n+1)(2n+3)+2=4n^2+12n+9-4n^2-10n-6+2=2n+5=2(n+2)+1
公式成立 （2）
由（1）和（2）可知,公式成立