若不等式x+2√(2xy)≤a(x+y)对切正数x,y都成立,则正数a的最小值为多少?

题目

若不等式x+2√(2xy)≤a(x+y)对切正数x,y都成立,则正数a的最小值为多少?

答案

x+2√(2xy)≤a(x+y)
(a-1)x+ay≥2√(2xy)
当01时
由均值不等式
(a-1)x+ay≥2√[a(a-1)xy]
只需2√[a(a-1)xy]≥2√(2xy)即可
a(a-1)≥2
a^2-a-2≥0
a≤-1 或a≥2
综上所述a≥2 最小值为2