在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2=b2+ac且a：c＝(3+1)：2，求∠C的大小．

题目

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a²+c²=b²+ac且a：c＝(

3

+1)：2，求∠C的大小．

答案

∵a²+c²=b²+ac，∴

a2+c2−b2

2ac

＝

1

2

，即cosB＝

1

2

．
∴∠B=60°∴A+C=120°．
又

a

c

＝

3 +1

2

，∴

sinA

sinC

＝

3 +1

2

，∴sin（120°-C）=

3 +1

2

sinC，
∴sinC=cosC，即tanC=1，又∵C∈（0，π），∴∠C＝

π

4

．

根据a²+c²=b²+ac 和余弦定理可得cosB＝

1

2

，故∠B=60°，A+C=120°，再由

a

c

＝

3 +1

2

可得tanC=1，又
C∈（0，π），从而求得∠C的大小．

本题考点：余弦定理；正弦定理．

考点点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，据三角函数的值求角，得到sin（120°-C）=

3 +1

2

sinC，是解题的关键．