已知向量PA(3,cosα),PB=(sinα,1)且PA⊥PB,(1)求tanα,sinα,cosα的值(2)求│AB│

题目

已知向量PA(3,cosα),PB=(sinα,1)且PA⊥PB,(1)求tanα,sinα,cosα的值(2)求│AB│

答案

(1)因为PA⊥PB
所以PA*PB=0
即3sinα+cosα=0
3sinα=-cosα
易得tanα＝－1/3
所以α是第二或第四象限角
又sin²α+cos²α=1
所以sin²α+9sin²α＝1
得sin²α＝1/10
则当α是第二象限角时,sinα＝√10/10,cosα＝-3√10/10
当α是第四象限角时,sinα＝－√10/10,cosα＝3√10/10
(2)因为向量AB=PB-PA,且PA*PB=0
所以|AB|²=|PB-PA|²
=|PB|²-2PB*PA+|PA|²
=9+cos²α+sin²α+1
=11
所以|AB|=√11