(1)已知(2x-1)^7=A7x^7+A6x^6+A5x^5+A4x^4+A3x^3+A2x^2+A1x+A0,求A6+A4+A2+A0的值

题目

(1)已知(2x-1)^7=A7x^7+A6x^6+A5x^5+A4x^4+A3x^3+A2x^2+A1x+A0,求A6+A4+A2+A0的值
(2)设A1=1,A2=2……A2009=2+0+0+9=11,A2010=2+0+1+0=3,求A1+A2+A3+A4+……+A2009+A2010的值

答案

(1)令x=1
1=A7+A6+A5+A4+A3+A2+A1+A0
令x=-1
(-3)^7=-A7+A6-A5+A4-A3+A2-A1+A0
两式相加：
1-3^7=2(A6+A4+A2+A0)
A6+A4+A2+A0=(1-3^7)/2=-1093
(2)求的是1——2010所有的数位上的数字和
A1——A2009可以看作：
0000=0+0+0+0——增加一个0000方便计算
0001=0+0+0+1
0002=0+0+0+2
0003=0+0+0+3
……
0999=0+9+9+9——千位为0的有1000个
1000=1+0+0+0
……
1999=1+9+9+9——千位为0的有1000个
2000=2+0+0+0
……
2010=2+0+1+0——千位为2的有2010-2000+1=11个
千位上的数字和是：0×1000+1×1000+2×11=1022
百位上的数字和是：(0+1+2+……+9)×100×2+0×11=9000
十位上的数字和是：(0+1+2+……+9)×10×10×2+0×10+1=9001
个位上的数字和是：(0+1+2+……+9)×100×2+0×11=9000
所以：A1+A2+A3+A4+……+A2009+A2010=1022+9000+9001+9000=28023