数列{an}中，相邻两项an，an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根，已知a10=-17，则b51的值等于（　　） A.5800 B.5840 C.5860 D.6000

题目

数列{a_n}中，相邻两项a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，已知a₁₀=-17，则b₅₁的值等于（　　）
A. 5800
B. 5840
C. 5860
D. 6000

答案

∵an，an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根，∴an+an+1=-3n，an•an+1=bn．∴an+2-an=（an+2+an+1）-（an+1+an）=-3（n+1）-（-3n）=-3∴a1，a3，…，a2n+1和a2，a4，…，an都是公差为-3的等差数列，∴a52=a10+21（-3）=-80...

由a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，知a_n+a_n+1=-3n，a_n•a_n+1=b_n．所以a_n+2-a_n=（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）=-3（n+1）-（-3n）=-3，故a₁，a₃，…，a_2n+1和a₂，a₄，…，a_n都是公差为-3的等差数列，所以a₅₂=-80，a₅₁=-73，由此能求出b₅₁．

本题考点：数列与函数的综合．

考点点评：本题考查数列与函数的综合应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理的灵活运用．