已知f（x）=2+log3x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为（　　） A.6 B.13 C.22 D.33

题目

已知f（x）=2+log₃x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值为（　　）
A. 6
B. 13
C. 22
D. 33

答案

y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6，
∵f（x）=2+log₃x（1≤x≤9），
∴

1≤x≤9 1≤x 2≤9

∴y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6，的定义域是1≤x≤3
令log₃x=t，因为1≤x≤3，所以0≤t≤1，
则上式变为y=t²+6t+6，0≤t≤1，
y=t²+6t+6在[0，1]上是增函数
当t=1时，y取最大值13
故选B

将f（x）=2+log₃x（1≤x≤9）代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化简为关于log₃x的函数，利用换元法求最值．

本题考点：对数函数的值域与最值．

考点点评：本题考查换元法求函数的值域问题，在使用换元法时，注意范围．