设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证 F(x)=1/x*∫（0到x）t^n*f(t)dt x>0 0 x=0

题目

设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证 F(x)=1/x*∫（0到x）t^n*f(t)dt x>0 0 x=0
证明.在[0,正无穷)上连续且单调不减（其中n大于0）

答案

分子为积分,分母为x
因此F(x)必然可导
求导：
F'(x)=(x^(n+1)f(x)-∫（0到x）t^n*f(t)dt)/x^2
判断导函数分子正负号：
设g(t)=t^nf(t)
=>
x^(n+1)f(x)-∫（0到x）t^n*f(t)dt
=x*g(x)-∫（0到x）g(t)dt
有积分中值定理：
=x*g(x)-x*g(η)
0