已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2=3，S6=36． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}是等比数列且满足b1+b2=3，b4+b5=24．设数列{an•bn}的前n项和

题目

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a₂=3，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等比数列且满足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24．设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

答案

（1）∵数列{a_n}是等差数列，
∴S₆=3（a₁+a₆）=3（a₂+a₅）=36．
∵a₂=3，∴a₅=9，∴3d=a₅-a₂=6，∴d=2，
又∵a₁=a₂-d=1，∴a_n=2n-1．
（2）由等比数列{b_n}满足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24，
得

b4+b5

b1+b2

=q³=8，∴q=2，
∵b₁+b₂=3，∴b₁+b₁q=3，∴b₁=1，b_n=2^n-1，
∴a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴T_n=1×1+3×2+5×2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1，
则2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减得（1-2）T_n=1×1+2×2+2×2²++2•2^n-2+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，即
-T_n=1+2（2¹+2²++22^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2（2ⁿ-2）-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．