设a,b,c,d均为实数,a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd,证明：a^2+c^2=2,B^2+d^2=2,ab=cd

题目

设a,b,c,d均为实数,a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd,证明：a^2+c^2=2,B^2+d^2=2,ab=cd

答案

a^2+b^2=2,c^2+d^2=2
设a=√2cosx b=√2sinx c=√2cosy d=√2siny
ac=bd
√2cosx √2cosy=√2sinx√2siny
2cosxcosy=2sinxsiny
2cos(x+y)=0
x+y=kπ+π/2
所以c=√2cosy=√2cos（kπ+π/2-x）=±√2sinx
d=√2siny=√2sin(kπ+π/2-x)=±√2cosx
所以a^2+c^2=2,B^2+d^2=2,ab=cd