积分证明题

题目

积分证明题
f(x)是周期为T的函数,证明∫(-T/2~T/2)f（x）dx=∫(0~T)f（x）dx

答案

设x∈[-T/2,0],x+T∈[T/2,T],可知f(x)=f(x+T),再设t=x+T
则f(t)=f(x)
∫(-T/2~0)f（x）dx=∫（-T/2+T~0+T）f(t)dt=∫(T/2~T)f(x)dx
又∫(-T/2~T/2)f（x）dx=∫(-T/2~0)f（x）dx+∫(0~T/2)f(x)dx
∫(0~T)f（x）dx=∫(0~T/2)f（x）dx+∫(T/2~T)f(x)dx
由∫(-T/2~0)f（x）dx=∫(T/2~T)f(x)dx可得
∫(-T/2~T/2)f（x）dx=∫(0~T)f（x）dx