设在[0,1]上连续,在（0,1）内可导且∫0到1f（x）dx=∫0到1xf(x)dx=0,证明：存在ξ∈（0,1）使得f（ξ）=0

题目

设在[0,1]上连续,在（0,1）内可导且∫0到1f（x）dx=∫0到1xf(x)dx=0,证明：存在ξ∈（0,1）使得f（ξ）=0

答案

证：设g(x) = ∫(0到x) (1-x) f(x) dx∫0到1f（x）dx=∫0到1xf(x)dx=0 ,∫(0到1) (1-x)f（x）dx =0 即 g(1) =0又g(0) =0g(x) 在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,满足罗尔定理条件存在ξ∈（0,1）使得 g'(ξ) =0即 g'(ξ...