An=2An-1+2^n+2,n》2,A1=2,Sn为数列{An}的前N项和,证明Sn>n^3+n^2

题目

An=2An-1+2^n+2,n》2,A1=2,Sn为数列{An}的前N项和,证明Sn>n^3+n^2

答案

An=2An-1+2^n+2
=2[2An-2 +2^(n-1)+2]+2^n+2
=2^2An-2 +2^n+2^2+2^n+2
=2^2An-2 +2*2^n+(2+2^2)
=2^2[2A-3 +2^(n-2)+2]+2*2^n+(2+2^2)
=2^3An-3 +2^n +2^3+2*2^n+(2+2^2)
=2^3An-3 +3*2^n+(2+2^2+2^3)
.由此推理可得.
=2^(n-2)A2+(n-2)*2^n+[2+2^2+2^3+.+2^(n-2)]
=2^(n-1)A1+(n-1)*2^n+[2+2^2+2^3+.+2^(n-2)+2^(n-1)]
=2^(n-1)*2+(n-1)*2^n+2*[1-2^(n-1)]/(1-2)
=2^n+(n-1)*2^n+2^n-2
=(n+1)*2^n -2 (n>2)
Sn=A1+A2+A3+A4+.+An-1 +An
=2+[(2+1)*2^2-2]+[(3+1)*2^3 -2]+[(4+1)*2^4 -2]+.+[n*2^n-1 -2]+[(n+1)*2^n -2]
=[3*2^2+4*2^3+5*2^4+.+n*2^n-1+(n+1)*2^n)]-2(n-2)
令Tn=3*2^2+4*2^3+5*2^4+.+n*2^n-1+(n+1)*2^n (1)
Tn/2=3*2+4*2^2+5*2^3+.+n*2^n-2+(n+1)*2^n-1 (2)
(2)-(1),得：-Tn/2=3*2+2^2+2^3+.+2^n-2+2^n-1 -(n+1)*2^n
=3*2+2^2(1-2^n-2)/(1-2)-(n+1)*2^n
=3*2+2^n-2^2-(n+1)*2^n
=3*2+2^n-2^2-n*2^n-2^n
=2-n*2^n
所以：Tn=n*2^(n+1)-4
所以：Sn=A1+A2+A3+A4+.+An-1 +An
=[3*2^2+4*2^3+5*2^4+.+n*2^n-1+(n+1)*2^n)]-2(n-1)
=Tn-2(n-2)
=n*2^(n+1)-4-2(n-2)
=n*2^(n+1)-2n
=n[2^(n+1)-2]
Sn-（n^3+n^2）
=n[2^(n+1)-2]-n(n^2+n)
=n[2^(n+1)-2-n^2-n] 【因为n>2】
如需n[2^(n+1)-2-n^2-n] >0
只需证明：2^(n+1)-2-n^2-n>0
设函数f1(n)=2^(n+1) f2(n)=n^2+n+2 【因为n>2】
只需：画出函数f1(n)=2^(n+1) f2(n)=n^2+n+2 在n>2上的图像
就可以得到f1(n)>f2(n)
从而就可以得到：f1(n)-f2(n)>0
即：2^(n+1)-（n^2+n+2）>0
综上可得：Sn>n^3+n^2