三角形ABC中,角平分线AD,BE,CF相交于点H(内心),过H点作HG垂直AC,垂足为G,求证角AHE=角CHG
题目
三角形ABC中,角平分线AD,BE,CF相交于点H(内心),过H点作HG垂直AC,垂足为G,求证角AHE=角CHG
证明:
因为AD、BE、CF是角平分线
所以
∠BAD=∠BAC/2
∠ABE=∠ABC/2
∠ACF=∠ACB/2
所以
∠AHE=∠BAD+∠ABE
=∠BAC/2+∠ABC/2
=(∠BAC+∠ABC)/2
=(180°-∠BCA)/2
=90°-∠BCA/2
=90°-∠ACF
=90°-∠GCH
因为HE⊥AC
所以∠CHG=90°-∠GCH
所以∠AHE=∠CHG
为什么∠AHE=∠BAD+∠ABE,疑惑.
答案
这是三角形的外角定理.∵在△ABH中,内角和∠AHB+∠BAD+∠ABE=180°又∵∠BHE是平角,∠AHB+∠AHE=180°∴∠AHB+∠BAD+∠ABE=∠AHB+∠AHE=180°即∠BAD+∠ABE=∠AHE (等式两边同时减去∠AHB)得证.这就是三角形的外角...
举一反三
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