设函数f(x)＝x−1x，对任意x∈[1，+∞），f（2mx）+2mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A.(−∞，−12) B.(−12，0) C.(−12，12) D.(0，12)

题目

设函数f(x)＝x−

1

x

，对任意x∈[1，+∞），f（2mx）+2mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A. (−∞，−

1

2

)
B. (−

1

2

，0)
C. (−

答案

∵函数f(x)＝x−

1

x

，f（2mx）+2mf（x）＜0
∴

8m2x2−(1+4m2)

2mx

＜0
①m＞0，x≥1，∴8m²x²-（1+4m²）＜0，∴x2＜

1+4m2

8m2

∵x≥1，∴对一切x≥1，不可能始终满足条件；
②m＜0，x≥1，∴8m²x²-（1+4m²）＞0，∴x2＞

1+4m2

8m2

∵x≥1，∴1＞

1+4m2

8m2

，∴m＜-

1

2

或m＞

1

2

∵m＜0，∴m＜-

1

2

故选A．

根据函数解析式，整理可得

8m2x2−(1+4m2)

2mx

＜0，分类讨论，转化为解m的不等式，即可求得结论．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．