如图,P是△ABC中的∠BAC的外角平分线上一点. (1)求证:PB+PC>AB+AC; (2)若P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC>AB,画出图形,试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不
题目
如图,P是△ABC中的∠BAC的外角平分线上一点.
(1)求证:PB+PC>AB+AC;
(2)若P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC>AB,画出图形,试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系?
答案
(1)证明:在BA延长线上截取AD=AC,连接DP,
∵AP平分∠DAC,
∴∠DAP=∠CAP,
在△ADP和△ACP中,
,
∴△ADP≌△ACP(SAS),
∴PC=PD,
在△BPD中,PB+PD>BD=AB+AD,
∴PB+PC>AB+AC;
(2)如图所示:在AC上截取AE=AB,连接PE,
∵AP平分∠BAC,
∴∠BAP=∠EAP,
在△ABP和△AEP中,
,
∴△ABP≌△AEP(SAS),
∴BP=EP,
在△PEC中,PE+PC>EC,即PB+PC>EC=AC-AE=AC-AB.
(1)在BA延长线上截取AD=AC,连接DP,由AP平分∠DAC,得到一对角相等,利用SAS得到△ADP≌△ACP,利用全等三角形对应边相等得到PC=PD,在三角形BPD中,根据三边关系得到PB+PD>BD,等量代换即可得证;
(2)根据题意画出图形,在AC上截取AE=AB,连接PE,由AP平分∠BAC,得到一对角相等,利用SAS得到△ABP≌△AEP,利用全等三角形对应边相等得到BP=EP,在三角形PEC中,利用三角形三边关系得到PE+PC>EC,等量代换即可得证.
全等三角形的判定与性质;三角形三边关系.
此题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的三边关系,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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