ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,π3<C<π2,且ba−b=sin2CsinA−sin2C.(1)判断△ABC的形状(2)若|BA+BC|=2,求BA•BC的取值范围、
题目
ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,
<C<
,且
=.
(1)判断△ABC的形状
(2)若
|+|=2,求
•的取值范围、
答案
(1)
=⇒=⇒sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C
⇒sinB=sin2C,
因为
<C<,
所以B=π-2C⇒B+C=π-C⇒π-A=π-C⇒A=C
即△ABC为等腰三角形.
(2)因为
|+|=2⇒(|+|)2=4⇒a2+c2+2accosB=4又A=C⇒a=c所以
cosB=,
而
cosB=-cos2C,<C<所以
<cosB<1⇒1<a2<•=cacosB=a2cosB=2-a2∈(,1)本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式,倍角公式,解三角形,平面向量的数量积运算,向量的模等知识点.
(1)要判断△ABC的形状,我们可由
=,结论正弦定理边角互化的原则,将式子中边全部化为对应角的正弦值,然后根据两角和与差的正弦公式,倍角公式,得到sinB=sin2C,又由因为
<C<,我们易判断三角形的形状.
(2)由
|+|=2,两边平方后,根据(1)的结论,我们可求出B的表达式及取值范围,进而求出
•的取值范围.
平面向量数量积的运算;向量的模;三角函数中的恒等变换应用.
要根据某个恒成立的三角函数关系式,判断三角形的形状,一般的思路是分析角与角的关系,如果有三个角相等,则为等边三角形;如果只能得到两个角相等,则为普通的等腰三角形;如果两个角和为90°,或一个角为90°,则为直角三角形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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