1.已知x、y∈R,且x+y=4,求证x^2+y^2≥8

题目

1.已知x、y∈R,且x+y=4,求证x^2+y^2≥8
2.命题甲：关于x的方程x^2+(m+2)x+1=0有2个正实数根；
命题乙：关于x的不等式mx^2+2mx-5＜0的解集为R
若命题甲、乙有且只有1个成立,求m范围.

答案

第一题
因x、y∈R,则可对x,y进行如下换元：
令
x = 2+t
y = 2-t (其中t∈R)
则 x^2+y^2 = (2+t)^2 +(2-t)^2 = 8+2t^2
当且仅当 t = 0时
x^2+y^2 取得最小值为 8
得证.
第二题
对于命题甲
等价于以下三不等式组同时成立
△ = (m+2)^2 -4 >0
-(m+2)>0
1>0
解得
m