初等数论

题目

初等数论
能问一个数论题吗?自然数立方以后的各位数字加起来为何会是1,8,9的循环.如4的立方为64,6+4=10,1+0=1,由1,8,9的循环规律知5的立方应为8检验后知正确,等等下去都是正确的. 请您证明并回复,谢谢了
这个问题解决了，应用之一就是可以判断我们算出的一个自然数的立方和是否是正确的，并且如果知道哪一个位上的数字缺失了还可以知道它是几，应用是很多，很神奇的

答案

没人回答,我来回答吧.一个数a的各个数字加起来得到一个数,如果这个数大于等于10,继续加起来,最后得到一个数,假设是b；把a除以9,得到的余数是c（a=c(mod 9),读作a模9余c）,则b和c是相等的.所以算每个立方数之和,可以通过算立方数模9来得到,这样就可以解释循环了.1^3=1(mod 9),2^3=8(mod 9),3^3=0(mod 9),4^3=(1+3)^3=1^3(mod 9) ,所以发生循环了