已知一元三次方程：X^3-X^2-8X+12=0有两个相等的根,解这个方程.

题目

已知一元三次方程：X^3-X^2-8X+12=0有两个相等的根,解这个方程.

答案

有两个相等的根
所以x^3-x^2-8x+12可以分解成(x-a)^2(x-b)
(x-a)^2(x-b)
=(x^2-2ax+a^2)(x-b)
=x^3-(b+2a)x^2+(2ab+a^2)x-a^2b
所以-b-2a=-1
2ab+a^2=-8
-a^2b=12
b=1-2a
代入a^2b=-12
2a^3-a^2-12=0
2a^3-16-a^2+4=0
2(a-2)(a^2+2a+4)-(a+2)(a-2)=0
(a-2)(2a^2+3a+6)=0
所以a=2,b=-3
所以x^3-x^2-8x+12=(x-2)^2(x+3)=0
x1=x2=2,x3=-3