问一道高数的导数题

题目

问一道高数的导数题
做一个底为正方形,容积为V的长方体开口容器,怎么做最省材料.

答案

设长方体的底边长为x,则高为V/x^2,根据题意,得长方体的表面积为
S = x^2 + 4x·V/x^2 = x^2 + 4V/x ,x∈(0,+∞)
S' = 2x - 4V/x^2
令S' = 0,解得唯一驻点 x = ³√（2V）
又 S'' = 2 + 8V/x^3 ,S''[³√（2V）] = 6 ＞ 0
所以 x = ³√（2V）是 S 的极小值点,也是 S 的最小值点,故当长方体的底长为³√（2V）,高为³√（2V）/2时,容积为V的长方体开口容器所需的材料最省.