f(x)单调增加有连续导数,且f(0)=0,f(a)=b,求证,

题目

f(x)单调增加有连续导数,且f(0)=0,f(a)=b,求证,
f(x)单调增加有连续导数,且f(0)=0,f(a)=b,求证：积分区间为0到a的∫f(x)dx+积分区间0到b的∫g(x)dx=ab,其中g(x)是f(x)的反函数~懵了~

答案

对第2个积分设变量代换t=g(x),则x=f(t),x从0到b时,则t从0到a
=∫[0,a]f(x)dx+∫[0,a]tf'(t)dt=∫[0,a]f(x)dx+∫[0,a]tdf(t)（对第2个再用分部积分）
==∫[0,a]f(x)dx+tf(t)|[0,a]-∫[0,a]f(t)dt=af(a)=ab