在△ABC中，已知内角A=π3，边BC=23，则△ABC的面积S的最大值为 _ ．

题目

在△ABC中，已知内角A=

π

3

，边BC=2

3

，则△ABC的面积S的最大值为 ___ ．

答案

由余弦定理，得12=b²+c²-bc．
又S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc；
而b²+c²≥2bc⇒bc+12≥2bc⇒bc≤12，（当且仅当b=c时等号成立）
所以S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤3

3

．
即△ABC的面积S的最大值为：3

3

．
故答案为：3

3

．

根据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式，即可求出结论．

本题考点：三角形中的几何计算．

考点点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题．解决本题的关键在于根据余弦定理以及基本不等公式得到bc≤12．