已知二次函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=2,且当x=t时,取得最小值为:2-(1-t).
题目
已知二次函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=2,且当x=t时,取得最小值为:2-(1-t).
(1)求f(x)的解析式(一定要用t表示)(2)若x∈【-1,2】时,f(x)≥-1恒成立,求t的取值范围.
答案
(1)设f(x)=a(x-t) 2 +b,∵f(1)=2,∴a(1-t) 2 +b=2. 又当x=t时,取得最小值为:2-(1-t).∴a=1,则b=2-(1-t) 2 ,∴f(x)=(x-t) 2 +2-(1-t) 2 =(x-t) 2 -t 2 +2t+1. (2)①若t<-1时,要使f(x)≥-1恒成立,只需f(-1)≥-1,即t≥- 3 4 ,这与t<-1矛盾; ②-1≤t≤2时,要使f(x)≥-1恒成立,只需f(t)≥-1,即-t 2 +2t+1≥-1,即1- 3 ≤t≤1+ 3 ,∴1- 3 ≤t≤2; ③若t>2时,要使f(x)≥-1恒成立,只需f(2)≥-1,即t≤3,∴2<t≤3,综上所述t的取值范围是[1- 3 ,3].
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