f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,f(a)=f(b)=1,证明：存在c,d属于（a,b） 使得(d/c)^(n-1)=f(c)+

题目

f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,f(a)=f(b)=1,证明：存在c,d属于（a,b） 使得(d/c)^(n-1)=f(c)+
c/n*f'(c)

答案

证明：记g(x)=x^nf(x),h(x)=x^n由初等函数性质知g(x),h(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件知存在ζ∈(a,b),使得g(b)-g(a)=g'(ζ)(b-a)即f(b)b^n-f(a)a^n=b^n-a^n=[nf(ζ)ζ^(n-1)+f'(ζ)ζ^n](b-a).(1)存在η∈(a...