设函数f(x)=a(x+1/x)+2lnx,g(x)=x^2.若a>0且a不等于2,直线l与函数f(x)和函数g(x)的图象相切于一点,求切线l的方程?

题目

设函数f(x)=a(x+1/x)+2lnx,g(x)=x^2.若a>0且a不等于2,直线l与函数f(x)和函数g(x)的图象相切于一点,求切线l的方程?
真是人才啊,当时我算的和你一样,就是没想到移项后提出个2x.

答案

直线l与函数f(x)和函数g(x)的图象相切于一点,
∴f'(x)=g'(x),
即a(1-1/x^2)+2/x=2x,
a(x^2-1)+2x(1-x^2)=0,x>0,
∴x=1或x=a/2.
g(1)=1,g(a/2)=a^2/4,g'(1)=1,g'(a/2)=a,
a>0且a不等于2,
∴l的方程为y=x或y-a^2/4=a(x-a/2),
后者化为4ax-4y-a^2=0,其中a满足f(a/2)=g(a/2),即a^2+8+8ln(a/2)=0.