如图所示，两足够长的平行金属导轨水平放置，间距为L，左端接有一阻值为R的电阻；所在空间分布有竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场．有两根导体棒c、d质量均为m，电阻均为R，相隔一

题目

如图所示，两足够长的平行金属导轨水平放置，间距为L，左端接有一阻值为R的电阻；所在空间分布有竖直向上，磁感应强度为B的匀强磁场．有两根导体棒c、d质量均为m，电阻均为R，相隔一定的距离垂直放置在导轨上与导轨紧密接触，它们与导轨间的动摩擦因数均为μ．现对c施加一水平向右的外力，使其从静止开始沿导轨以加速度a做匀加速直线运动．（已知导体棒c始终与导轨垂直、紧密接触，导体棒与导轨的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g）

（1）经多长时间，导体棒d开始滑动；
（2）若在上述时间内，导体棒d上产生的热量为Q，则此时间内水平外力做的功为多少？

答案

（1）设导体棒d刚要滑动的瞬间，流过d的电流为I，c的瞬时速度为v，
导体棒c切割磁感线产生的电动势：E=BLv…①
电路总电阻为：R_总=R+

R

2

=

3R

2

电路中的感应电流：I=

E

R总

=

BLv

3R 2

=

2BLv

3R

，
通过d的电流为：I_d=

1

2

I=

BLv

3R

… ②
d受到的安培力大小为：F_A=BI_dL…③
当安培力与摩擦力相等时，d开始运动，
由此得：F_A=μmg…④
c的运动时间为：t=

v

a

  ⑤
由①②③④⑤解得：t=

3μmgR

B2L2a

…⑥
v=

3μmgR

B2L2

…⑦
（2）导体棒d上产生的热量为Q，
则整个电路上产生的热量为：Q′=6Q… ⑧
c发生的位移为：x=

1

2

at²…⑨
外力做的功为：W=

1

2

mv²+μmgx+Q′…⑩
由⑥⑦⑧⑨⑩解得：W=

9μ2m3g2R2

2B4L4

（1+

μg

a

）+6Q；
答：（1）经过时间

3μmgR

B2L2a

导体棒d开始滑动．
（2）水平外力做的功为

9μ2m3g2R2

2B4L4

（1+

μg

a

）+6Q．