如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC． （1）求证：△MAC是等腰三角形； （2）若AC为⊙O直径，求证：AC2=2AM•AB．

题目

如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC．

（1）求证：△MAC是等腰三角形；
（2）若AC为⊙O直径，求证：AC²=2AM•AB．

答案

证明：（1）∵弧AD=弧CB，
∴∠MCA=∠MAC．
∴△MAC是等腰三角形．
（2）连接OM，
∵AC为⊙O直径，
∴∠ABC=90°．
∵△MAC是等腰三角形，AM=CM，OA=OC，
∴MO⊥AC．
∴∠AOM=∠ABC=Rt△．
∵∠MAO=∠CAB，
∴△AOM∽△ABC．
∴

AB

OA

=

AC

AM

∴AO•AC=AM•AB．
∴AC²=2AM•AB．