如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D是线段BC的中点． （1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．

题目

如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4

3

，D是线段BC的中点．

（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．

答案

（1）点D在⊙O上；理由如下：
设⊙O与BC交于点M，连接AM，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
在直角△ABM中，BM=AB•cos∠ABC=4×

3

2

=2

3

，
∵BC=4

3

，
∴M是BC的中点，则M与D重合．
∴点D在⊙O上；
（2）证明：
连接OD，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切线．

（1）要求D与⊙O的位置关系，需先求OD的长，再与其半径相比较；若大于半径则在圆外，等于半径在圆上，小于半径则在圆内；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．

本题考点：切线的判定；点与圆的位置关系．

考点点评：此题主要考查了点与圆的位置关系及切线的判定．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．