在等比数列{an}中，a2=3，a5=81． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．

题目

在等比数列{a_n}中，a₂=3，a₅=81．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₂=3，a₅=81，得

a1q＝3 a1q4＝81

，解得

a1＝1 q＝3

．
∴an＝3n−1；
（Ⅱ）∵an＝3n−1，b_n=log₃a_n，
∴bn＝log33n−1＝n−1．
则数列{b_n}的首项为b₁=0，
由b_n-b_n-1=n-1-（n-2）=1（n≥2），
可知数列{b_n}是以1为公差的等差数列．
∴Sn＝nb1+

n(n−1)d

2

＝

n(n−1)

2

．

（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n代入b_n=log₃a_n，得到数列{b_n}的通项公式，由此得到数列{b_n}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．

本题考点：等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．

考点点评：本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．