如图，有一座山，大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径4千米，山高415千米．在山坡SA的中点C有一联络站，要从山脚A修一盘山路，绕山坡一周将物资运往SA的中点C，这条公路的最短路程为多少？

题目

如图，有一座山，大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径4千米，山高4

15

千米．在山坡SA的中点C有一联络站，要从山脚A修一盘山路，绕山坡一周将物资运往SA的中点C，这条公路的最短路程为多少？

答案

如图，将圆锥沿SA展开得到扇形ASA′，则这条公路的最短路程是AC′．
在Rt△OBS中可得SB=16千米．（2分）
∴SA=16千米，SC′=8千米，弧长AA′为8π千米．
设圆心角∠ASA′为n°，
则8π=

nπ×16

180

，
n=90，（5分）
∴∠ASA′为90°．
在Rt△ASC′中，AC′=

AS2+SC′2

=8

5

（千米）．（7分）
答：这条公路的最短路程为8

5

千米．（8分）

公路的最短路程为圆锥展开图中点A到C′的距离．可由勾股定理求得母线SB，由底面周长等于扇形的弧长求得扇形的圆心角的度数为90度，再勾股定理求得AC′的长．

本题考点：平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．

考点点评：本题利用了勾股定理，圆的周长公式，弧长公式求解．