已知f（x）=ln（x+1），g(x)＝1/2ax2+bx （1）若a=0，b=1时，求证：f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立； （2）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在

题目

已知f（x）=ln（x+1），g(x)＝

1

2

ax

答案

（1）设m（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，
则ϕ′(x)＝

1

x+1

−1＝

−x

x+1

．….2分

x	（-1，0）	0	（0，+∞）
m′（x）	+	0	-
m（x）	↗	最大值	↘

∴当x=0时，m（x）有最大值0，
∴m（x）≤0恒成立．
即f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立．….4分
（2）b=2时h(x)＝lnx−

1

2

ax2−2x，h′(x)＝

1

x

−ax−2，
∵h（x）有单调递减区间，∴h′（x）<0有解，即

1−ax2−2x

x

<0有解，
∵x>0，∴ax²+2x-1>0有解，….6分
①a≥0时合题意
②a<0时，△=4+4a>0，即a>-1，
∴a的取值范围是（-1，+∞）….8分
（3）证明：∵xlnx-ylny-（x+y）ln

x+y

2

=x（lnx-ln

x+y

2

）+y（lny-ln

x+y

2

）
=xln

2x

x+y

+yln

2y

x+y

=-xln

x+y

2x

-yln

x+y

2y

=-xln（1+

y−x

2x

）-yln（1+

x−y

2y

）
当0<x<y时，

y−x

2x

>−1，

x−y

2y

>−1，由（1）知xlnx+ylny−(x+y)ln

x+y

2

≥−x•

y−x

2x

−y•

x−y

2y

＝0
等号在

y−x

2x

＝

x−y

2y

＝0，即x=y时成立．
而y>x>0，
∴xlnx+ylny−(x+y)ln

x+y

2

>0成立．….13分．