已知函数f(x)=lnx-2kx (k为常数)

题目

已知函数f(x)=lnx-2kx (k为常数)
(1)求函数f(x)的单调区间
(2)若f(x)＜x^3+lnx恒成立,求k的取值范围

答案

(1) x > 0,f '(x) = 1/x - 2k,
k≤0 时,f(x) 单增区间(0,+∞)
k>0时,f '(x) > 0 => 1/x > 2k,0 < x < 1/(2k)
f(x) 单增区间 ( 0,1/(2k)) ; f(x) 单减区间 ( 1/(2k) ,+∞)
(2) f(x) < x³ + lnx 即 -2kx < x³,x (x²+2k) > 0
=> x² + 2k > 0 于是 k > 0