三棱锥A-BCD中,AD,BC,CD,两两互相垂直,且AB=13,BC=3,CD=4,M,N分别为AB,AC中点

题目

三棱锥A-BCD中,AD,BC,CD,两两互相垂直,且AB=13,BC=3,CD=4,M,N分别为AB,AC中点
1.求证:平面MND垂直平面ACD
2.求三棱锥A-MND的体积

答案

（1）BC垂直于AD和CD,则BC垂直于平面ACD.
MN平行等于BC的一半,所以MN垂直于平面ACD,所以平面MND垂直于平面ACD.
（2）三角形AMN的面积等于三角形ABC面积的四分之一,所以三棱锥A-MND的体积也等于三棱锥A-BCD体积的四分之一.
BC=3,CD=4得出BD=5,所以AD=12
三棱锥A-BCD的体积为 BC * CD * AD / 6 = 24
所以三棱锥A-MND的体积为24/4=6