菱形ABCD的对角线相交于O,角ABC=120度,P为对角线AC上一点,角MPN=60度,点M在边AD上,点N在边CD上.

题目

菱形ABCD的对角线相交于O,角ABC=120度,P为对角线AC上一点,角MPN=60度,点M在边AD上,点N在边CD上.
当点P与O 重合时,求证：AM+CN=AO 乘 根号3

答案

过O作OE,OF分别垂直AD,CD于E,F
可证三角形AOE与COF全等
所以AE=CF,OE=OF
又可证明三角形OEM与OFN全等
所以EM=FN
所以AM+CN=AE+CF=2AE
三角形AOE中
有AE=根号3*OE,OA=2OE
所以AE=1/2根号3*OA
所以AM+CN=根号3*OA