设函数f(x)对所有x>0均有定义,且满足下列三个条件:

题目

设函数f(x)对所有x>0均有定义,且满足下列三个条件:
1.函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,2.对所有x>0,均有f(x)>1/x,3.对所有x>0,均有f(x)*f[f(x)+1/x]=1.试求函数值f(1)

答案

可设f(x)=k/x.(k>1).易知,前两个条件f(x)均满足.当x>0时,1=f(x)*f[f(x)+1/x]=k/x*kx/(k+1)=k^2/(k+1).===>k=(1+√5)/2.易知,当k=(1+√5)/2时,三个条件函数f(x)均满足.故f(1)=(1+√5)/2.[这其实是构造函数].