已知A(x1,y1),B(x2.y2),C(0,2),D(1.0)是抛物线上的四点,AB被直线x＝1平分,AB与x轴所成的锐角为45度,则抛物线的解析式是

题目

已知A(x1,y1),B(x2.y2),C(0,2),D(1.0)是抛物线上的四点,AB被直线x＝1平分,AB与x轴所成的锐角为45度,则抛物线的解析式是

答案

设抛物线方程为 y=ax²+bx+c
C(0,2),D(1.0)是抛物线上的点
则 c=2 (1)
a+b+c=0 (2)
由上面二式得,a+b=-2 (3)
因为 A(x1,y1),B(x2.y2),是抛物线上的点
那么
y1=ax²1+bx1+2 y2=ax²2+bx2+2
y2-y1= a(x1+x2)(x2-x1)+b(x2-x1)
(y2-y1)/(x2-x1)=a(x2+x1)+b
AB 被直线x＝1平分
则 (x2+x1)/2=1 x2+x1=2
所以有 (y2-y1)/(x2-x1)=2a+b
AB与x轴所成的锐角为45
则 (y2-y1)/(x2-x1)=tg 45=1
从而 2a+b=1 (4)
由（3）,（4）可得
a=3 b=-5
于是抛物线方程是 y=3x²-5x+2