高二数学--抛物线定义及方程

题目

高二数学--抛物线定义及方程
已知椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根2/2,直线L:y=x-2根2与以圆点为圆心,以椭圆C1的短半轴为半径的圆相切.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线L1过点F1且垂直于椭圆的长轴1,动直线L2垂直L1于点P,线段PF2的垂直平分线交直线L2于点M,求点M的轨迹C2的方程.
第二问比较棘手啊，

答案

已知椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根2/2,直线L:y=x-2根2与以圆点为圆心,以椭圆C1的短半轴为半径的圆相切.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线L1过点F1且垂直于椭圆的长轴1,动直线L2垂直L1于点P,线段PF2的垂直平分线交直线L2于点M,求点M的轨迹C2的方程.
(1)解析：∵椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),e=c/a=√2/2==>a=√2c
∵.直线y=x-2√2与圆x^2+y^2=b^2相切
∴圆的半径b=|x-y-2√2|/√2=2==>a^2-b^2=c^2==> c^2=b^2,a^2=8
∴椭圆C1的方程C1为x^2/8+y^2/4=1
(2)解析：∵椭圆C1：x^2/8+y^2/4=1,左焦点为F1(-2,0),右焦点为F2(2,0)
∵直线L1⊥X轴,∴直线L1：x=-2
设M(x,y)
∵直线L2⊥直线L1于P,∴P(-2,y)
∴F2P中点D(0,y/2),F2P斜率为-y/4==> F2P中垂线斜率为4/y
∴F2P中垂线方程为y-y/2=4/y*x==>x=y^2/8
∵M为线段PF2的垂直平分线交直线L2交点
∴M点的轨迹C2的方程为y^2=8x