在平面直角坐标系xOy中,以C(1,-2)为圆心的圆与直线x+y+32+1=0相切. (1)求圆C的方程; (2)求过点(3,4)且截圆C所得的弦长为25的直线方程.
题目
在平面直角坐标系xOy中,以C(1,-2)为圆心的圆与直线
x+y+3+1=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)求过点(3,4)且截圆C所得的弦长为
2的直线方程.
答案
(1)设圆的方程是(x-1)
2+(y+2)
2=r
2,------(1分)
依题意,∵C(1,-2)为圆心的圆与直线
x+y+3+1=0相切.
∴所求圆的半径,
r==3,-----(3分)
∴所求的圆方程是(x-1)
2+(y+2)
2=9.----------------(4分)
(2)∵圆方程是(x-1)
2+(y+2)
2=9,
当斜率存在时,设直线的斜率为k,则直线方程为y-4=k(x-3),------(5分)
即kx-y+4-3k=0,
由圆心C(1,-2)到直线的距离
d==2,----(6分)
即
=1,解得
k=,-----(8分)
∴直线方程为
y−4=(x−3),即4x-3y=0,----(9分)
∴当斜率不存在时,也符合题意,即所求的直线方程是x=3.--------(11分)
∴所求的直线方程为x=3和4x-3y=0.------------(12分)
(1)假设圆的方程,利用以C(1,-2)为圆心的圆与直线
x+y+3+1=0相切,即可求得圆C的方程;
(2)分类讨论,利用圆心C(1,-2)到直线的距离,过点(3,4)且截圆C所得的弦长为
2,即可求得直线方程.
直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关系.
本题重点考查圆的标准方程,考查直线与圆的位置关系,考查圆中弦长的计算,合理运用圆的性质是关键.
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