用反证法证明:当n为自然数时,2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差

题目

用反证法证明:当n为自然数时,2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差

答案

证明：
假设,当n为自然数时,2(2n+1)形式的数能表示为两个整数的平方差!
那么有
a^2-b^2 （a,b为整数）
=(a+b)(a-b)
若a-b=2,a=b+2
则
=(a+b)(a-b)
=2(b+2+b)
=2(2b+2),结果为偶数!
若a+b=2,a=2-b
=(a+b)(a-b)
=2(2-b-b)
=2[2(-b)+2],结果也是偶数
而2(2n+1)为奇数
所以有 2(2n+1)≠a^2-b^2
所以,假设不成立!
即有,当n为自然数时,2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差