如何推导单级火箭最终速度公式ΔV=Vc×ln{(M+P)/M}

题目

如何推导单级火箭最终速度公式ΔV=Vc×ln{(M+P)/M}
V => 火箭的速度变化量,初速为零的火箭之最终速度即为0+ΔV = ΔV
Vc =>
ln => 自然对数
M => 火箭本体的质量
P => 燃料质量
(M+P)/M => 质量比

答案

设火箭剩余总质量为m,根据动量守恒：mdv+vcdm=0,所以dv=-(vc/m)dm,积分,左边从0到v,右边从M+P到M,所以v=-vc*ln[M/(M+P)]=vc*ln[(M+P)/M].