设方阵A的立方等于哦,试证明E-A可逆,且（E—A）－¹=E+A +A².

题目

设方阵A的立方等于哦,试证明E-A可逆,且（E—A）－¹=E+A +A².

答案

(A-E)^3
=(A^2 - 2A +E) (A-E)
=A^3 - 3A^2 +3A -E
因A^3=0
=-3A^2 +3A -E
移项整理
E = -3A (A-E) - (A-E)^3
=[-3A - (A-E)^2] (A-E) = [3A + (E-A)^2] (E-A)
由定义 有矩阵[3A + (E-A)^2] 使(E-A)乘上等于E
于是(E-A)可逆 且(E-A)^-1为 [3A + (E-A)^2]
[3A + (E-A)^2]
=3A +A^2 -2A +E
=E + A +A^2
即 (E-A)^-1为E + A +A^2