已知a^2+ab+b^2|ab(a+b),求证(a-b)^3>3ab

题目

已知a^2+ab+b^2|ab(a+b),求证(a-b)^3>3ab
a>b>0,a,b∈Z*

答案

已知正整数a > b > 0满足a²+ab+b² | ab(a+b),求证(a-b)³ > 3ab.
设a,b的最大公约数(a,b) = d,a = md,b = nd.
代入条件得(m²+mn+n²)d² | mn(m+n)d³,故m²+mn+n² | mn(m+n)d.
由(a,b) = d,有(m,n) = 1.下面证明m²+mn+n²与m,n和m+n都互质.
假设m²+mn+n²与m有公共质因数p,即p | m同时p | m²+mn+n².
则有p | n² = (m²+mn+n²)-m(m+n),进而有p | n,于是p为m,n的公共质因数,与(m,n) = 1矛盾.
因此(m²+mn+n²,m) = 1,同理(m²+mn+n²,n) = 1.
假设m²+mn+n²与m+n有公共质因数p,即p | m+n同时p | m²+mn+n².
同样有p | n² = (m²+mn+n²)-m(m+n),进而p | n,以及p | m² = (m²+mn+n²)-n(m+n),进而p | m.
于是p为m,n的公共质因数,与(m,n) = 1矛盾.
因此(m²+mn+n²,m+n) = 1.
由m²+mn+n²与m,n和m+n都互质,又m²+mn+n² | mn(m+n)d,有m²+mn+n² | d.
而d > 0,故m²+mn+n² ≤ d,得a²+ab+b² = (m²+mn+n²)d² ≤ d³.
由a > b,a-b > 0,又d | a-b,故a-b ≥ d > 0,得(a-b)³ ≥ d³ ≥ a²+ab+b² = 3ab+(a-b)² > 3ab.
证毕.
虽然上面这样也能做,但是个人怀疑题目是下面这样:
已知正整数a > b > 0满足a²+ab+b² | ab(a-b),求证(a-b)³ > 3ab.
这个做起来简单一些.
由a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²),有a²+ab+b² | a³-b³.
又a²+ab+b² | ab(a-b),股a²+ab+b² | 3ab(a-b) = 3a²b-3ab².
相减得a²+ab+b² | a³-3a²b+3ab²-b³ = (a-b)³.
由a > b,(a-b)³ > 0,有(a-b)³ ≥ a²+ab+b² = 3ab+(a-b)² > 3ab.
证毕.