若△ABC的三边长a、b、c满足a2-a-2b-2c=0且a+2b-2c+3=0，则它的最大内角的度数是（　　） A.150° B.135° C.120° D.90°

题目

若△ABC的三边长a、b、c满足a²-a-2b-2c=0且a+2b-2c+3=0，则它的最大内角的度数是（　　）
A. 150°
B. 135°
C. 120°
D. 90°

答案

把a²-a-2b-2c=0和a+2b-2c+3=0联立可得，b=

(a−3)(a+1)

4

，c=

a2+3

4

，显然c＞b．
接下来比较c与a的大小，
由b=

(a−3)(a+1)

4

＞0，解得：a＞3或a＜-1（为负数，舍去），
假设c=

a2+3

4

＞a，解得：a＜1或a＞3，其中a＞3刚好符合，
∴c＞a，即三角形最大边为c，
∴△ABC中C为最大角，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2ab•cosC，
将b=

(a−3)(a+1)

4

，c=

a2+3

4

代入得：(

a2+3

4

)2=a2+[

(a−3)(a+1)

4

]2-2a•

(a−3)(a+1)

4

•cosC，
解得：cosC=-

1

2

，又C为三角形的内角，
则C=120°．
故选C