证明n阶方阵A可逆的充分必要条件是A与n阶单位阵等价,求救啊,刘老

题目

证明n阶方阵A可逆的充分必要条件是A与n阶单位阵等价,求救啊,刘老

答案

A 总可经初等变换化为等价标准形 H =
Er 0
0 0
即存在可逆矩阵P,Q使得 PAQ = H
当A可逆时,|A|≠0,故 |H| ≠ 0,此时H中没有0行,即 r=n,
所以A的等价标准形为 En
反之,由 PAQ=En 知 |A|≠0,所以A可逆