设f(x)在(-∞,+∞)上有定义,且对任意的x和y,f(x+y)=f(x)+f(y),证明,若f(x)在x=0连续,则f(x)=kx,其中k=f(1).

题目

设f(x)在(-∞,+∞)上有定义,且对任意的x和y,f(x+y)=f(x)+f(y),证明,若f(x)在x=0连续,则f(x)=kx,其中k=f(1).
提示，要用定积分的知识，不能用纯自然数思路

答案

证明(一） 任意的x和y,f(x+y)=f(x)+f(y),
则有(1)f(0)=2f(0),f(0)=0
(2)0= f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)为奇函数
（二）对任意的自然数,f(m/n)=mf(1/n),
f(1)=nf(1/n)
所以f(m/n)=m/n(f(1)
对任意正有理数q f(q)=qf(1)
对任意的负有理数 q ,f(q)=-f(-q)=-(-q)f(1)=qf(1)
总之,对任意的有理数q有f(q)=qf(1)
（三）若f(x)在x=0连续,则由f(x+y)-f(x)=f(y)
易得到f(x)在任意点连续
（四）
对任意的的实数x,存在有理数列q_1n趋于x得
lim_(n趋于无穷大）f(q_n)=xf(1)
得 f(x)=xf(1)