设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax
题目
设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax
(1)设g(x)=f(x)-1/x,在[1,+无穷)上单增递增,求a的取值范围
(2)当a不等于0时,求f(X)的单增区间
答案
(1) g(x)在[1,+∞)上单增,则g'(x)=f'(x)+1/x²≥0,即f'(x)≥-1/x²,
由于x∈[1,+∞),则-1/x²∈[-1,0),故f'(x)≥0
f'(x)=(2-a)/x-1/x²+2a=[2ax²+(2-a)x-1]/x²=(2x-1)(ax+1)/x²≥0,
由于x>1,则x²>0,2x-1>0
故当x>1时,ax+1≥0恒成立,即a≥-1/x²
ⅰ当a≥0时,显然成立.
ⅱ当a<0时,-1/x²∈[-1,0),则a≥0,与假设不符故舍去.
(2) 由f(x)定义域知x>0,则x²>0
令f'(x)≥0,则有(2x-1)(ax+1)≥0
ⅰ当a<0时,
①a<-2时,-1/a<1/2,单增区间为(-1/a,1/2)
②-2<a<0时,1/2<a<-1/a,单增区间为(1/2,-1/a)
③当a=-2时,f'(x)=-(2x-1)²/x²≤0,单增区间为∅
ⅱ当a>0时,-1/a<1/2,故x<-1/a或x>1/2,又知x>0,故单增区间为(0,1/2)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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